Après toutes mes interrogations sur des questions géométriques pour l’assemblage du biscornu proposé par Véro 21, il y a deux façons d’assembler le chapeau Bonne et le fond Année avec les 5 étoiles, si l’on coud les carrés bord à bord. Pour une vraie réflexion mathématique, allez voir le commentaire de mon père et son beau schéma l’autre jour… j’avais oublié de le prévenir, l’article était programmé et j’avais avancé vers la résolution du problème… de topologie. Je vous mets son schéma ici, mais pour le comprendre, vous devez aller au commentaire!

La première solution, choisie pour la face Bonne, est d’assembler deux bords adjacents de l’étoile à deux bords adjacents d’une même lettre… Même si ici, les arrêtes et les sommets s’assemblent à merveille, je pense que ce n’est pas la bonne solution pour le biscornu, et je ne l’ai pas terminée, j’ai mis des épingles sur les dernières arrètes, je vais découdre et recommencer autrement…

Comment ? Et bien, comme pour la face Année, en cousant un bord de l’étoile sur une lettre et le bord adjacent sur la lettre suivante. Voyez ce que ça donne…

Si l’on regarde sur le côté, pour la première solution, sur le dessus ici, il n’y a pas de déformation des faces des carrés, la couture entre deux faces de lettres vient se positionner dans le creux. Dans le second cas (en bas), la face se déforme pour épouser le creux, et prendre une forme… biscornue !

C’est la forme choisie par Véro 21, mais je préfère lui donner une forme carrément biscornue.

Bon, il me reste donc à découdre le dessus avec Bonne et à le coudre comme Année… Je vous montre très vite le résultat.

Retrouvez toutes les étapes de ce SAL :

• le contour des quatre premières faces
• le contour des onze premières faces
• la lettre B et les treize premières faces
• la lettre 0 et les quinze faces
• la lettre A
• les trois lettres E
• cinq étoiles
• quatre N
• assemblage des trois premières faces, BON
• l’assemblage de Bonne et Année
• l’assemblage des faces, questions géométriques
• questions géométriques
• première version (celle du modèle)
• deuxième version (celle que j’ai choisie finalement)

Depuis quelques jours, je m’interroge sur ce biscornu à quinze faces carrées. Ç s’est aggravé quand j’ai obtenu Bonne et Année. Revenez lire cet article plus tard si vous avez abusé de boissons alcoolisées pour le réveillon…
J’ai donc un souci , j’ai quinze faces carrées, impossible en géométrie euclidienne d’en faire un polyèdre régulier à faces planes, et pourtant, le mode d’mploi de l’assemblage me demande de coudre tous les côtés des carrés pour en faire des arrêtes…

Les seuls polyèdres réguliers (à faces identiques) possibles de 4 à 20 faces en géométrie euclidienne sont les solides de Platon (le tétraèdre régulier ou pyramide, l’hexaèdre régulier ou cube, l’octaèdre , l’icosaèdre et le dodécaèdre, soit des solides à respectivement 4, 6, 8, 12 et 20 faces), les deux solides de Kepler (avec des polygones réguliers étoilés ou croisés) et les deux solides de Poinsot (avec des faces régulières, qui s’interpénètrent). Si vous voulez voir à quoi ils ressemblent, je vous conseille une petite visite chez Mathcurve. Donc les faces ne seront pas planes au sens d’Euclide .

Euclide , kesako ? C’est la première géométrie que l’on apprend à l’école, qui part de cinq postulats, dont le dernier nous intéresse ici, et qui peut se dire soit Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté, soit dans un plan, par un point extérieur à une droite, il existe une et une seule droite parallèle à cette droite . Un petit tour ici si vous voulez quelques rappels… et tout en bas de cet article pour les 5 postulats d’Euclide…

Impossible donc d’assembler mes quinze carrés du biscornu avec des faces planes au sens courant (euclidien), il va falloir les déformer dans l’espace euclidien à trois dimensions… ou alors, changer de système de géométrie . Vous choisiriez quoi, parmi les gémoétries non euclidiennes ? Une géométrie à courbure constante de type elliptique (géométrie de Riemann, par un point extérieur à une droite, aucune parallèle n’existe) ou à courbure non constante de type hyperbolique (géométrie de Lobatchevski, par un point extérieur à une droite passent une infinité de parallèles) ? Ces différentes géométries, j’y baigne depuis toute petite grâce aux trajets en voiture de la maison au collège et au lycée avec mon père… elles m’ont vallu une très bonne note en philosophie au bac. Il m’a aussi familiarisé aux fractals (j’en ai fabriqué un comme cette éponge de Menger avec des pliages/dépliages quand j’étais petite), à la théorie des catastrophes, la machine de Zeeman ou le culbuto, allez jouer avec ces petites applicaions, vous comprendrez mieux le passage d’un état stable à l’autre du culbuto que vous offrirez à bébé à noël…

Et mon biscornu à quinze faces proposé par Véro 21 ? Je pense que seul Lobachevski pourra m’aider…

Si toutes ces questions de solides vous intrigent, je vous invite à vous promener sur le site Mathcurve de Robert Ferréol, ne ratez pas la surface de Boy… mon père, toujours lui, en fabriqua une en papier mâché… C’est génial, c’est un solide à une seule face obtenu en  » cousant  » un disque sur un ruban de Moebius… que vous retrouvez au tricot, si, si, toujours en lien à partir de chez ABC mathématiques.

Retrouvez toutes les étapes de ce SAL :

• le contour des quatre premières faces
• le contour des onze premières faces
• la lettre B et les treize premières faces
• la lettre 0 et les quinze faces
• la lettre A
• les trois lettres E
• cinq étoiles
• quatre N
• assemblage des trois premières faces, BON
• l’assemblage de Bonne et Année.
• questions géométriques
• première version (celle du modèle)
• deuxième version (celle que j’ai choisie finalement)

Les cinq postulats de la géométrie euclidienne :

Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.

Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.

Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.

Tous les angles droits sont congruents.

Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.