De l’assemblage du biscornu… et questions géométriques…

SAL biscornu à 15 faces, essai d'assemblage Depuis quelques jours, je m’interroge sur ce biscornu à quinze faces carrées. Ç s’est aggravé quand j’ai obtenu Bonne et Année. Revenez lire cet article plus tard si vous avez abusé de boissons alcoolisées pour le réveillon…
J’ai donc un souci , j’ai quinze faces carrées, impossible en géométrie euclidienne d’en faire un polyèdre régulier à faces planes, et pourtant, le mode d’mploi de l’assemblage me demande de coudre tous les côtés des carrés pour en faire des arrêtes…

Les seuls polyèdres réguliers (à faces identiques) possibles de 4 à 20 faces en géométrie euclidienne sont les solides de Platon (le tétraèdre régulier ou pyramide, l’hexaèdre régulier ou cube, l’octaèdre , l’icosaèdre et le dodécaèdre, soit des solides à respectivement 4, 6, 8, 12 et 20 faces), les deux solides de Kepler (avec des polygones réguliers étoilés ou croisés) et les deux solides de Poinsot (avec des faces régulières, qui s’interpénètrent). Si vous voulez voir à quoi ils ressemblent, je vous conseille une petite visite chez Mathcurve. Donc les faces ne seront pas planes au sens d’Euclide .

Euclide , kesako ? C’est la première géométrie que l’on apprend à l’école, qui part de cinq postulats, dont le dernier nous intéresse ici, et qui peut se dire soit Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté, soit dans un plan, par un point extérieur à une droite, il existe une et une seule droite parallèle à cette droite . Un petit tour ici si vous voulez quelques rappels… et tout en bas de cet article pour les 5 postulats d’Euclide…

Impossible donc d’assembler mes quinze carrés du biscornu avec des faces planes au sens courant (euclidien), il va falloir les déformer dans l’espace euclidien à trois dimensions… ou alors, changer de système de géométrie . Vous choisiriez quoi, parmi les gémoétries non euclidiennes ? Une géométrie à courbure constante de type elliptique (géométrie de Riemann, par un point extérieur à une droite, aucune parallèle n’existe) ou à courbure non constante de type hyperbolique (géométrie de Lobatchevski, par un point extérieur à une droite passent une infinité de parallèles) ? Ces différentes géométries, j’y baigne depuis toute petite grâce aux trajets en voiture de la maison au collège et au lycée avec mon père… elles m’ont vallu une très bonne note en philosophie au bac. Il m’a aussi familiarisé aux fractals (j’en ai fabriqué un comme cette éponge de Menger avec des pliages/dépliages quand j’étais petite), à la théorie des catastrophes, la machine de Zeeman ou le culbuto, allez jouer avec ces petites applicaions, vous comprendrez mieux le passage d’un état stable à l’autre du culbuto que vous offrirez à bébé à noël…

Et mon biscornu à quinze faces proposé par Véro 21 ? Je pense que seul Lobachevski pourra m’aider…

Si toutes ces questions de solides vous intrigent, je vous invite à vous promener sur le site Mathcurve de Robert Ferréol, ne ratez pas la surface de Boy… mon père, toujours lui, en fabriqua une en papier mâché… C’est génial, c’est un solide à une seule face obtenu en  » cousant  » un disque sur un ruban de Moebius… que vous retrouvez au tricot, si, si, toujours en lien à partir de chez ABC mathématiques.

Retrouvez toutes les étapes de ce SAL :

Les cinq postulats de la géométrie euclidienne :

Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.

Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.

Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.

Tous les angles droits sont congruents.

Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

11 réflexions au sujet de « De l’assemblage du biscornu… et questions géométriques… »

  1. Lucien

    Au secours, papa… Ce n’est pas un problème de géométrie euclidienne ou non, c’est un problème de topologie ! Il s’agit d’assembler 15 faces carrées pour obtenir une surface fermée qui soit topologiquement une sphère c’est à dire dont l’invariant d’Euler-Poincarré soit égal à 2. L’invariant d’Euler-Poincarré est égal à S + F – A (S = nombre de Sommets, F de faces A d’arêtes). Pour le cube 8 + 6 – 12 = 2 . Tu peux t’amuser avec les autres solides platoniciens et remarquer qu’entre le cube et l’octaèdre les nombres d’arêtes est le même et les nombres de faces et de sommets permutent, même chose entre le dodécaèdre et l’icosaèdre. Le tétraèdre se correspond à lui même. Une surface fermée à un trou (le tore) a un invariant d’Euler-Poincarré égal à 0. Je reviens au biscornu à 15 faces. En un sommet tu peux assembler 3, 4 ou 5 (plus si tu veux) faces. Si tu assemble 3 faces tu as concentré au sommet une courbure positive (tu te trouves là dans la situation de la géométrie elliptique (de Rieman), si tu traces un triangle dont chacun des sommets est sur une face de ton biscornu (tu dois pour ça mettre à plat deux par deux les faces pour tracer les côtés du triangle), la somme des angles du triangle est supérieure à 180 degrés. Si tu assemble 4 faces tu as un plan, géométrie euclidienne, si tu assembles 5 faces géométrie hyperbolique. Ton biscornu doit avoir deux sommets H (hyperboliques, à 5 faces) et 15 sommets E (elliptiques à 3 faces), et 30 arêtes. Voici le plan d’assemblage. Le sommet H1 est au milieu, le sommet H2, diamétralement opposé est à l’infini, je l’ai figuré en 5 exemplaires, mais c’est un seul point.

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    1. Véronique D

      Coucou, je suis encore chez Dominique… J’ai failli parler de topologie, mais c’est trop difficile pour un 25 décembre! Je rentre dans la soirée. Le biscornu est assemblé depuis dimanche dernier, en deux versions… Une où j’avais oublié de tourner les arêtes! Mais ton dessin est très beau! C’est exactement le résultat final. Je pense que les autres filles doivent s’interroger! Le mode d’emploi de l’assemblage n’était pas clair! Ici, il fait très beau!

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    1. Véronique D

      J’avais oublié de dire à mon père que j’avais trouvé la solution! Si tu lis son commentaire, c’est pire que mes réflexions, LOL! Bon, 1/2h de web m’a aidé à quitter les vapeurs du champ’

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  2. cathdragon

    Aïe ! J’ai mal à la tête ! J’ai bu du blanc, du rouge, du pétillant depuis hier au soir et là j’avoue que je n’y comprends rien ! Je crois bien que je vais revenir demain !!!!! cath

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  3. Bidouillette/Tibilisfil

    Ahhh un article que j’avais skipé (çà le fait plus que sauté…..lol). J’ai pris le temps de tout lire, je me doutais que ce serait hard, hihihi! Mais la réponse de papa éclaire tout! Enfin je me le dis, je viens de la relire trois fois, mais trop tôt après le lever, je pense, neurones pas connectés………………..
    Gros bisousssssssss

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  4. Bri59

    Merci pour cette leçon de mathématiques à l’aube (Ca n’a jamais été ma matière préférée).
    Je vais enregistrer la confection de ce biscornu pour l’année prochaine.
    De ce pas, je vais m’inscrire chez Véro21. Son blog m’aidera à réaliser un grand objectif que j’ai pour l’année 2010.

    Bizzzzz Brigitte

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